你可能会想知道，一直加下去会得到怎样的结果。后面的数字不断变小，直到它可以忽略不计。你可能想知道它是否仍然对总和有贡献。
由此可见，调和级数增长得非常慢，在10亿次之后，只能达到21.3004，之后增长速度越来越慢。它实际上需要：
我且称它为 平方级数，它其实没有官方的名字。事实上，这个级数确实收敛，收敛到（π^2）/6（=1.644934）。
这被称为巴塞尔问题，它确立了莱昂哈德-欧拉在数学界的地位，因为他用非常简洁的方法解决了这个问题。
你可能会对 π的出现感到惊讶。这里出现的π^2有很多 原因，没有单一的答案。这更像是说水为什么是蓝色的。水首先不是蓝色的，天空是蓝色的，这本身与你自己的眼睛有很大关系，也与复杂的电磁力和其他物理学有很大关系。
归根结底，所有这些都与宇宙的真理相联系，但有几种方法可以将这些真理连结成一个解释。基本上，一个 无限长的线 的问题可以被转换为一个 无限大的圆 的问题。虽然圆的长度和直径变得无限大，但它们的比率保持不变：π。
因此，通过结合上面的两个事实，你可以确定 平方级数 是比2小的正数。这意味着它（平方级数）收敛到比2小的数值上。
括号内的每项都大于等于1/2。所以，整个级数比（1/2）n要大，当n无穷大时，级数也是无穷大的。
由于调和级数以1/N的速度增长，这让人很容易想起自然对数函数，它也是以1/x的速度增长（这个速度随着x越来越大而不断减慢）。
自然对数函数表示e的几次幂才能得到x的函数。虽然对数函数的增长速度非常慢，需要超过10^434项才能达到1000。但它确实是发散的。
调和级数就像对数函数的一个的兄弟，只是把 e 而不是 10 作为其指数。另外，让数字 10 出现在这里比数字 π 或 e 更疯狂。
首先，看一下调和级数和对数函数的图像。它们之间有一个差值，在无穷远处，这个差异会变成一个特定的数字。
这个数字是否是无理数甚至是超越数（超越数的意思是，它是否可以成为某个涉及x的幂的方程的解），这是数学中最悬而未决的谜团之一。许多数学家认为，以我们目前的条件，永远也解决不了这个问题！
欧拉-马斯克若尼常数是一个相当不直观的数字，出现在许多结果中。它似乎说明了自然数的“粒度”性，因为它们与实数的连续性相违背。
目前还不清楚物理宇宙中一些更 奇特 的数字（例如精细结构常数）是否与之有某种关系，这可能会加重物理学家的负担，但对我来说，我宁愿希望它们有根本的联系。
事实上，有可能以这样的方式重新排列交变调和级数，可以用它的无限之和来表示任何数字。只是项的排列最终会对最后的结果产生影响。
如果你“剔除”调和级数中出现的一些数字，就会发生一些意想不到的事情。让我们来看看，如果我们剔除所有分母中含有 3 的数字会发生什么：
我们剔除了1/3和1/13这两个项，因为它们的分母中有一个 3。如果我们计算这个级数的值，会发现在这种情况下，这个级数确实收敛了。
事实上，如果我们按照任何模式剔除数字（无论我们剔除的数字中含有 4，还是含有 5876846 字符串的数字，任何模式），剔除足够多的数字，调和级数将不再发散到无穷大，而是很快收敛到非常小的数字。
我希望你能好好想想这个问题：如果我们把所有分母中有“989078748629”的数字都去掉（不管你能想到什么数字），剔除足够多的项，级数将不再趋于无穷。
正如你所看到的，调和级数的发散性是相当脆弱的，有稍微的变动，级数就不再收敛。因此，永远不要相信你自己的直觉！你的直觉是什么？
